תורת המספרים למבחן נוער מוכשר — ראשוניים, מחלקים וכללי התחלקות

תורת המספרים במבחן

שאלות על תכונות מספרים מופיעות בשני חלקי המבחן — גם בחלק א׳ (כחלק מידע מתמטי) וגם בחלק ב׳ (כחלק מחשיבה לוגית). הנושא כולל מספרים ראשוניים, מחלקים, כללי התחלקות, זוגי/אי-זוגי, ופירוק לגורמים. שליטה בנושא הזה עוזרת גם בשאלות שברים ובחידות היגיון.

מספרים ראשוניים

מספר ראשוני הוא מספר שמתחלק רק ב-1 ובעצמו:

• •הראשוניים הראשונים: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.
• •2 הוא הראשוני הזוגי היחיד. כל ראשוני אחר הוא אי-זוגי.
• •1 הוא לא ראשוני! (טעות נפוצה).
• •0 הוא לא ראשוני.
• •איך בודקים: בדקו חלוקה ב-2, 3, 5, 7... עד שורש המספר.

כללי התחלקות

כללי התחלקות חוסכים זמן יקר במבחן:

• •מתחלק ב-2: ספרת האחדות זוגית (0, 2, 4, 6, 8).
• •מתחלק ב-3: סכום הספרות מתחלק ב-3. לדוגמה: 123 → 1+2+3 = 6 → מתחלק ב-3.
• •מתחלק ב-4: שתי הספרות האחרונות מהוות מספר שמתחלק ב-4.
• •מתחלק ב-5: ספרת האחדות היא 0 או 5.
• •מתחלק ב-6: מתחלק גם ב-2 וגם ב-3.
• •מתחלק ב-9: סכום הספרות מתחלק ב-9.
• •מתחלק ב-10: ספרת האחדות היא 0.

מחלקים וכפולות

מחלק הוא מספר שמחלק את המספר ללא שארית. כפולה היא מכפלה של המספר:

• •מחלקי 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
• •כפולות של 7: 7, 14, 21, 28, 35, 42...
• •מחלק משותף גדול ביותר (מ.מ.ש): המספר הגדול ביותר שמחלק שני מספרים. לדוגמה: מ.מ.ש(12, 18) = 6.
• •כפולה משותפת מינימלית (כמ"מ): המספר הקטן ביותר שמתחלק בשני מספרים. לדוגמה: כמ"מ(4, 6) = 12.

זוגי ואי-זוגי

תכונות חשובות של מספרים זוגיים ואי-זוגיים:

• •זוגי + זוגי = זוגי. אי-זוגי + אי-זוגי = זוגי. זוגי + אי-זוגי = אי-זוגי.
• •זוגי × כל מספר = זוגי. אי-זוגי × אי-זוגי = אי-זוגי.
• •סכום של מספר זוגי של מספרים אי-זוגיים = זוגי.
• •הכללים האלה שימושיים מאוד בחידות היגיון ושאלות "ללא חישוב".

פירוק לגורמים ראשוניים

כל מספר ניתן לכתיבה כמכפלה של ראשוניים. הטכניקה:

• •חלקו ב-2 כל עוד אפשר. אחר כך ב-3, אחר כך ב-5, וכך הלאה.
• •דוגמה: 60 = 2 × 30 = 2 × 2 × 15 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5.
• •שימושי למציאת מ.מ.ש וכמ"מ.
• •שימושי לספירת מחלקים: אם n = p^a × q^b אז מספר המחלקים = (a+1)(b+1).